ფიბონაჩი

ცოტა ადამიანმა თუ იცის, რომ ათობითი სისტემა, იმ ფორმით როგორაც მას ჩვენ ვიყენებთ, შექმნა ლეონარდო ფიბონაჩიმ. ათობითი სისტემასთან ერთად ფიბონაჩიმ შექმნა კიდევ ერთი სისტემა რომელსაც მოგვიანებით ფიბონაჩის რიცხვების თანამიმდევრობა ეწოდა. ეს არის განსაცვიფრებელი ადამიანი და ეს არის განსაცვიფრებელი სისტემა.
რა კავშირია ფიბონაჩის რიცხვების თანამიმდევრობას და ფორექსს შორის? აქ საკმარისი იქნება იმის თქმა, რომ ბაზარს აქვს თვისება მიყვეს ფიბონაჩის რიცხვების პროპორციებს ფასების მოძრაობის დროს. ერთი შეხედვით პარადოქსული ჩანს, როგორ შეიძლება ბაზარი მიყვებოდეს დადგენილი რიცხვების თანმიმდევრობას ან პროპორციებს, მაგრამ როცა ამ სტატიას გაეცნობით, მიხვდებით რომ ეს პროპორციები ბუნებრივი ჰარმონიის ნაწილია და ფასს, როგორც ადამიანების ჯგუფის კოლექტიურ გადაწყვეტილეებას, აქვს თვისება მიყვეს ამ ჰარმონიას.
მეცამეტე საუკუნის დასაწყისში ფიბონაჩიმ გამოსცა ცნობილი ე.წ. “გამოთვლების წიგნი“ (Liber Abacci), ჩვენთვის, ყველასთვის ცნობილი ათობითი სისტემის შესახებ, რომელიც პირველ ციფრად ამ სისტემაში განიხილავდა 0-ს. ეს სისტემა ახლა გამოიყენება საყოველთაოდ, ეწოდება ინდუს-არაბული სისტემა და შედგება ცნობილი სიმბოლოებისგან 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 და 9. სისტემა დაფუძნებულია სიმბოლოების რიცხვით მნიშვნელობაზე და სიმბოლოების ადგილზე, რომელსაც ეს სიმბოლოები იკავებენ რიცხვში. სიმბოლოს ადგილმგებარეობაზრე დამყარებული სისტემა გამოგონებული იყო გაცილებით ადრე ბაბილონში და მაიას ტომებში, მაგრამ მათი მეთოდები იყო მოუქნელი და ძნელად გამოსაყენებელი. ათობითმა სისტემამ მაქსიმალურად გამოდევნა ხმარებიდან რომაული სისტემა და დასაბამი მისცა დიდ ევოლუციას მათემატიკაში და მასთან დაკავშირებულ მეცნიერებებში.
დროთა განმავლობაში ფიბონაჩის პიროვნება კაცობრიობამ ნელნელა დაკარგა მხედველობის არიდან. არსებობს ერთადერთი ძეგლი, იტალიაში, პიზის კოშკის პირდაპირ, მდინარის გაღმა, რომელიც ეძღვნება ლეონარდო ფიბონაჩის.

ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობა

იმავე წიგნში ფიბონაჩიმ აღწერა რიცხვების მეორე თანმიმდევრობა, რომელიც ასე გამოიყურებოდა:

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89, 144 და ა.შ. უსასრულობამდე.

ამ თანმიმდევრობაში ყოველი შემდეგი რიცხვი არის მის წინ მდებარე ორი რიცხვის ჯამის ტოლი.
რამდენი წყვილი კურდღელი შეიძლება გაჩნდეს დახურულ გალიაში, ერთი წლის განმავლობაში, ერთი წყვილი კურდღლებისგან, თუ თითოეული წყვილი შობს კიდევ ერთ ახალ წყვილს? თავს ნუ გადაიტვირთავთ ანგარიშით. რაოდენობის ზრდა ხდება ფიბონაჩის რიცხვების მიხედვით.
თუ იგივე კურდღლებს იგივე თანმიმდევრობით გამრავლების საშუალებას მივცემთ ათი წლის განმავლობაში, მაშინ შემდეგი მსოფლიო ომი იქნება ადამიანებს და კურდღლებს შორის, ამ უკანასკნელთა რაოდენობა 100 თვეში მიაღწევს 354 224 848 179 261 915 075 წყვილს. ეს გრძელი რიცხვიც ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობის წევრია.


ოქროს პროპორცია 


ფიბონაჩის რიცხვების თანმიმდევრობის ყოველი რიცხვის ფარდობა მის შემდგომ რიცხვთან დიდი მიახლოებით ტოლია 0.618-ის, ხოლო ყოველი რიცხვის ფარდობა მის წინა რიცხვთან დიდი მიახლოებით ტოლია 1.618-ის ანუ 0.618-ის ინვერსიის. რაც უფრო იზრდება რიცხვები მით უფრო ზუსტად უახლოვდება ფარდობა 0.618034…-ს რიცხვს რომელსაც ვუწოდებთ φ-ს (ფი).
ერთის გამოტოვებით რიცხვების ფარდობა ტოლია 0.382 და პირიქით ფარდობა 2.618 ანუ 0.382 ის ინვერსიას. და ა.შ.
φ-არის ერთადერთი რიცხვი რომელიც ერთთან მიმატების შემდეგ იძლევა თავის ინვერსიას 0.618 +1=1 : 0.618

ფესვი φ-დან = φ –ს.


საინტერესოა რომ: 

0.618 მეორე ხარისხში = 1 – 0.618,
0.618 მესამე ხარისხში = 0.618 – (0.618 მეორე ხარისხში),
0.618 მეოთხე ხარისხში = 0.6182 – (0.618 მესამე ხარისხში),
0.618 მეხუთე ხარისხში = 0.6183 – (0.618 მეოთხე ხარისხში), და ა.შ.

ან პირიქით ფარდობა: 

1.618 მეორე ხარისხში = 1 + 1.618,
1.618 მესამე ხარისხში = 1.618 + (1.618 მეორე ხარისხში),
1.618 მეოთხე ხარისხში = 1.6182 + (1.618 მესამე ხარისხში),
1.618 მეხუთე ხარისხში = 1.6183 + (1.618 მეოთხე ხარისხში), და ა.შ.


კიდევ რამდენიმე საინტერესო არითმეტიკა ფიბონაჩის რიცხვებით:

1) 1.618 – 0.618 = 1,
2) 1.618 * 0.618 = 1,
3) 1 – 0.618 = 0.382,
4) 0.618 * 0.618 = 0.382,
5) 2.618 – 1.618 = 1,
6) 2.618 * 0.382 = 1,
7) 2.618 * 0.618 = 1.618,
8 ) 1.618 * 1.618 = 2.618.


1-ის და 2-ის გარდა ფიბონაჩის ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული 4-ზე და დამატებული ნებისმიერი ფიბონაჩის რიცხვი, გვაძლევს ისევ ფიბონაჩის რიცხვს.

3 * 4 = 12; + 1 = 13,
5 * 4 = 20; + 1 = 21,
8 * 4 = 32; + 2 = 34,
13 * 4 = 52; + 3 = 55,
21 * 4 = 84; + 5 = 89, და ა.შ.


0.618 (ან 1.618) ცნობილია როგორც ოქროს პროპორცია. მისი გეომეტრია სასიამოვნოა თვალისთვის, მიღებულია კაცობრიობის მიერ და ადამიანებისთვის ჰარმონიულობის ნაწილს შეადგენს. ამ პროპორციას ემორჩილება უამრავი რამ ჩვენს ირგვლივ მუსიკა, არქიტექტურა, ბიოლოგია, მზესუმზირა, ლოკოკინას ნიჟარა, ლამბაქი, სპირალური გალაქტიკა და ა.შ. ამავე კანონს მიყვება ძალიან ხშირად ფასის მოძრაობა ბაზარზე.

ძველმა ბერძნებმა ამ თანაფარდობას “ოქროს შუალედი” უწოდეს.

საკმარისი იქნება იმის თქმა რომ ეგვიპტელები, 5000 წლის წინ, ამ რიცხვის მიხედვით აგებდნენ პირამიდებს (სიგანის და სიმაღლის ფარდობა უდრიდა φ-ს).

ეს რიცხვები უდაოდ არიან ბუნებრივი ჰარმონიის ნაწილი რომელიც სასიამოვნოდ გაიაზრება, სასიამოვნოა დასანახად და თქვენ წარმოიდგინეთ, სასიამოვნოდ ჟღერს. მუსიკა, მაგალითად, დამყარებულია 8 ოქტავაზე. 8 თეთრი და 5 შავი კლავიშით -სულ 13. მაგალითისთვის ნოტი “მი” ისმის როგორც თანაფარდობა 0.625 ნოტთან “დო”. ყურის ნიჟარის მოყვანილობა, რომელიც განიშლება სპირალურად, ფიბონაჩის რიცხვების პროპორციით, ჰარმონიულად აღიქვამს ნოტების ოქროს პროპორციაზე დამოკიდებულებას.
განუწყვეტელი მაგალითები ბუნების დამოკიდებულებისა ამ რიცხვებზე ხსნის იმ ფაქტს რომ ხელოვნებაში ეს თანაფარდობა მიღებული და მიმზიდველია. ადამიანი, ცხოვრების გამოსახვას ხელოვნების საშუალებით, ხედავს ოქროს პროპორციაზე დაყრდნობით.


ატომის სტრუქტურები, დნმ-ის ჯაჭვი, მცენარეთა აგებულება, ტვინის ხვეულები, პლანეტების ორბიტები, გალაქტიკები, ბუნება ყველგან იყენებს ოქროს პროპორციას.


ფიბონაჩის გეომეტრია

ნებისმიერი მონაკვეთი შეიძლება გაიყოს ისე, რომ გაყოფილიდან, პატარა ნაწილის ფარდობა დიდთან ტოლი იყოს დიდი ნაწილის ფარდობის მთლიან მონაკვეთთან. და რას უდრის ყველა ეს ფარდობა ასეთი გაყოფის შემდეგ? მართალია φ-ს, 0.618-ს

ოქროს სამკუთხედი

ოქროს სამკუთხედის გვერდების ფარდობა ტოლია 1.618-ს. რომ ავაგოთ ოქროს სამკუთხედი კვადრატის კუთხიდან დაუშვით მონაკვეთი გვერდის შუა წერტილამდე.

შემდეგი ნახაზზე ნაჩვენებია ოქროს მართკუთხედების საშუალებით მიღებული ოქროს სპირალი:

შემდეგ ნახაზზე კი ჩანს, პუნქტირით ნაჩვენები ოქროს სპირალის ზომები ერთმანეთთან თანაფარდობაშიც იძლევა φ-ს, 0.618-ს. 

ოქროს სპირალს საზღვარი არ აქვს და იშლება უსასრულოდ. სპირალის ნებისმიერ წერტილში მისი რკალის სიგრძის ფარდობა დიამეტრთან ტოლია 1.618-ის.

ამ სპირალის კანონით მრავლდებიან ბაქტერიები, ახვევს თავის ბუდეს ობობა, ახვევს კუდს კომეტა, დედამიწასთან შეჯახებისას მეტეორიოტები ქმნიან ღრმულს ამ სპირალის შესაბამისად, ამ სპირალის შესაბამისად ფორმირდება ჩვეულებრივი გირჩის აგებულება, ახვევს ნიჟარას ლოკოკინა, ეხვევა ზღვის ტალღა, ეხვევა ცხოველების რქები, განლაგდება ყვავილის ფოთლები და მზესუმზირას მარცვლები, ეხვევა ქარბორბალა და გალაქტიკური მოძრაობები.

ფორექსზე, და არა მარტო ფორექსზე, ტექნიკური ანალიზის საშუალებები ფართოდ იყენებს ფიბონაჩის თანმიმდევრობას და პროპორციას ანალიზისთვის. ელიოტის ტალღური ანალიზის ერთერთ საყრდენს ფიბონაჩის რიცვების თანმიმდევრობა წარმოადგენს. ასევე, სავაჭრო ტერმინალებში, ანალიზის გასაიოლებლად, დამატებულია ფიბონაჩის რიცხვების მიხედვით შექმნილი ხაზები და რკალები. ამ სტატიის მიზანი არ არის მათი განხილვა. მხოლოდ ვიტყვით, რომ დაიტანეთ ეს ხაზები გრაფიკზე და აღმოაჩენთ საოცარ დამთხვევას ფასის ტალღური მოძრაობის ხასიათს და ფიბონაჩის რიცხვებს შორის. 

სურათებზე მოყვანილია გრაფიკების მაგალითები, ზედ დატანილი ფიბონაჩის ხაზებით.

P.S.  უგენიალურესი მათემატიკოსი, რომელმაც მათემატიკის ენით გადმოსცა ”სილამაზე” და  ”ჰარმონია”.